Две школьницы разрушают математику: они доказали теорему Пифагора «невозможным» способом
Фото: Shutterstock.
Две старшеклассницы, Кальеца Джонсон и Не’Кия Джексон из Нового Орлеана, США, представили новое доказательство знаменитой теоремы Пифагора. Изюминка в том, что такой тип доказательства считается «невозможным». Школьницы опирались только на треугольники, то есть на науку об измерении треугольников.
ЗАДАЧА СО ЗВЕЗДОЧКОЙ
Все началось еще в 2022 году на школьном математическом конкурсе, когда девочкам попалась некая задача со звездочкой. А попробовать доказать теорему Пифагора только с помощью треугольников. Знал ли учитель, что такое невозможно? Позже его спросили, и он ответил с (как отметил репортер) «нехоршей улыбкой»:
— Я рассчитывал, что дети просто поразмышляют.
Небось, и сам не знал.
Но ученицам неожиданно удалось, и в следующем году они уже выступали на заседании Американского математического общества, чего старожилы не припомнят. А на днях вышла их статья в журнале The American mathematical monthly, так что научное сообщество все признало, так получается.
Ажиотаж вокруг открытия (или «открытия») вышел за все рамки умеренности и приличия. «Пифагор был горд», девушки «раздвигают границы познания и раскрывaют человечеству новые горизонты», пишут в соцсетях американские математические общества. Главред журнала говорит, что «для нас честь публиковать эту статью, которая соответствует духу основателя нашего журнала». А и то: девушки, темнокожие, из Нового Орлеана – все по канонам пресловутой «повесточки». Почему и критиковать (а в науке принято критиковать всех) как-то не с руки. Вроде как дети, женщин, и заодно темнокожих обидел. Раздаются редкие (и в основном анонимные) голоса: доказательство не оригинальное, не точное, сложно, и вообще его нет.
Новоявленные гении, пока суть да дело, из школьниц стали студентками. Кия изучает фармацевтику (а вовсе не математику) в университете Луизианы, а по выходным погружается в хобби, каковых у нее много (кошки, кролики, бильярд, аниме). Кальеца поступила в колледж, и она будет «инженером окружающей среды» (нечто среднее между ландшафтным дизайнером и экологом). С хобби у нее туговато, но она пропадает в театрах и увлекается корейской попсой. Прямо как наш Перельман, скромность в быту. А может, смешленные (тут спора нет) девочки поняли, что стали инструментом повесточной пропаганды, и хотят дистанцироваться?
Попрбуем разобраться, что за открытие такое, но сделать это будет непросто. В научной прессе вы прочитаете, например, что даже имена девчонок предсказаны проведением, ведь есть все еще популярный на Западе мюзикл 1954 года «Кармен Джонс», и там героиню зовут именно так. Ну и аналитика. Поэтому придется покопаться самим. Что ж, попробуем.
ПРОСЛАВИЛСЯ СВОИМИ ШТАНАМИ
Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Помним с детства. Пригодилось ли в жизни? Кому как.
Это именно теорема, а не аксиома. То есть её надо доказывать. Но, кажется, что изначально её вывели из практики, и над доказательством особенно не думали.
Упоминаемость соотношений в прямоугольном треугольнике встречаются уже в вавилонских таблицах и египетских папирусах XX-XV веков до новой эры. Похоже, сначала люди открыли забавные соотношения чисел, которые позже назвали «пифагоровыми тройками». Это – три числа, для которых выполняется правило
А (в квадрате) + В (в квадрате) = С (в квадрате)
бросается в глаза. Например, 3, 4 и 5. В самом деле:
Три в квадрате (9) + Четыре в квадрате (16) = Пять в квадрате (25).
Нетрудно убедиться: если построить треугольник с такими сторонами, он получится прямоугольным. Ого, подумали древние вавилонцы. Тонкость в том, что им постоянно приходилось строить разные фигуры. И даже не на бумаге, а на грунте, палками и веревками. Драгосечная пахотная земля Междуречья вечно становилась предметом тяжбы, её, бедную, кромсали и делили, землюмеров вызывали.
Применить удобное соотношение, кадастровые инженеры взяли его на заметку.
Считается, что Пифагор (жил в VI-V веках до новой эры) придумал правила, как находить такие сочетания цифр, а где правило, там и теорема, но до сих пор дополнительно неизвестно, имел ли вообще Пифагор отношение к теореме, именем себя.
От Пифагора не сохранилось ни одного сочинения. Судя по тому, сколько шума он наделал в истории, личностью он был незаразным. Вернувшись из Вавилона, он придумал концепцию переселения душ, сам часто выходил из тела и являлся ученикам одномвременно в разных концах города, живым пусть слухами музыку сфер (и изобразил семь нот по числу планет). Греческий мыслитель остается актуальным и в наши дни. Конспирологи пишут, что он был «агентом Вавилона», который создал мировое правительство и заразил западную цивилизацию деструктивными идеями. Ковид? Это тоже он.
Все это замечательно, но мог ли мистик, шоумен и агент Вавилона обосновать теорему, вопрос.
Фото: EAST NEWS.
В III веке до новой эры появляется фундаментальное сочинение Евклида «Начала», по которому математику штудировали до XVIII века (и сейчас бы не плохо студентам почитать, но – сложна), и там доказательство есть. Оно заключается в том, что к треугольнику подрисовываются квадраты, всего три квадрата, примыкающие к трём сторонам. Доказать, что площади квадратов равны, и тем самым обосновывается вся теория. Что есть квадрат, допустим, гипотенузы, как не площадь квадрата, примыкающего к гипотенузе? Ранняя математика часто мыслила не числами, а фигурами. Нам это непривычно.
Именно подрисованный квадратами треугольники Евклида и называются «пифагоровыми штампами», которые, как известно, «во все стороны равны». На штампах в самом деле похоже. Школьники лет сто назад прекрасно знали, о чем речь, потому «штампы» изучать перестали, а поговорка осталась; наконец, забыли, и она. Я поспрашивал современных школьников (конечно, мой «опрос» не претендует на полномасштабное), и про «штампы» уже мало кто слышит, а кто слышал, думает, что это таблица деления.
ДАЖЕ ЭЙНШТЕЙН ПОПЫТАЛСЯ
С тех пор теорему Пифагора разными способами доказали примерно 400 раз. В точности не знает никто. Мне встретилась книжка «371 способ доказательства теоремы Пифагора», но туда явно вошло не все. Есть сайты, посвященные только доказательствам теоремы Пифагора.
Наши школьницы в статистику пока не попали. Да и статья у них называется «Пять или десять новых доказательств теоремы Пифагора». То ли пять, то ли десять, кто их там считает.
Среди великих, кто упражнялся на прямоугольном треугольнике – например, Альберт Эйнштейн, а Стивен Хокинг много про это писал. Конечно, есть доказательства на основе комплексных чисел, куда без них (забавное, что в Питере говорят «комплексные», а в Москве «комплексные», ох уж этот вечный спор бордеров и переборок). Теорему доказывал ИИ. Движусь!
В целом доказательства можно разделить на алгебраические (то есть формулами) и геометрические (чертежами), хотя в реальности сначала что-то рисуется, а потом пишут всякие цифры, то есть по сути это смешанные доказательства.
Но особым шикаром считается доказать теорему Пифагора тригонометрически. Но что такое «тригонометрия»?
Школьники уверены, что это просто другое название геометрии. Определение Википедии, как часто в этой «энциклопедии», прекрасно: «Тригонометрия – раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции». С чем не поспоришь.
На самом деле термин «тригонометрия» (в переводе – «измерение треугольника») придумал в конце XVI века немец Питискус. Шли Великие географические открытия, астрономия (для целей навигации) нужна была всем морякам, а тогдашняя астрономия стрелялась на треугольниках (правда, сферических). Разумно было вынести знания о треугольниках и углах в особую «науку». Собственно, тригонометрия – наука о треугольниках и углах.
Теорема Пифагора — это треугольники, и заманчиво её доказать, пользуясь только «правилами треугольника». Но в 1927 году математик Элиш Скотт Лумис заявил, что тригонометрического доказательства теоремы Пифагора не существует. И вот почему.
Как бы вы ни крутили, вас выкинет к тождеству
Синус в квадрате угла альфа + косинус в квадрате угла альфа = 1
Синус, напомню, это отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. Косинус – прилежащего.
Штука в том, что это красивое соотношение само есть следствие теории Пифагора. Следствие девочки приводят еще несколько тригонометрических доказательств, но наше दुर्पразумение в том, что измерения представляют из себя соотношения и тут работа с окружностями, и любимые у веск негры. Получается, что заявляется Результаты. И сами девушки с игрушкой роли готовятся дедушка не давал. А et et et в следующем.
Таким образом, историю о том, что даже Эйнштейн пытался разбить то, что многие преподавали, вспоминается. Соответственно, невозможно отрицать успех тем более юных для педагогики, не разрешая на такой фоне не просто светит сквозь резкие углы. Грубо говоря, они использовали успех. На спор.
